[161] كان؟ سواء كان مثلثا أو مربعا أو مخمسا. أو غير ذلك من المضلعات التي لا نهاية لها. فإنك إذا أخرجت كل واحد من أضلاعه في جهة واحدة، فإن مجموع الزوايا الحادثة في الخارج من ذلك الضلع، يساوي أربع قوائم. لا أزيد ولا أنقص. والدليل عليه: الاستقراء والبرهان.

أما الاستقراء: فهو أن المثلث إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الثلاثة على الاستقامة، حيث من كل منها زاويتان معادلتان لقائمتين ومجموعهما ست قوائم، والواقع [1] في داخل المثلث اثنان. فالباقي من تلك الستة [2] في الخارج: أربع قوائم. وأيضا: المربع إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الأربعة إلى الخارج، حدث بسبب كل ضلع قائمتان [3] أو معادلتان لقائمتين.

فالمجموع: ثمانية. لكن المربع يحصل فيه مثلثان، فتكون القوائم الحاصلة في داخل المربع: أربعة. فبقيت [4] الحاصلة في الخارج أربعة. وأيضا: المخمس إذا أخرج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة إلى الخارج، حدث بسبب كل ضلع زاويتان [5] معادلتان لقائمتين. فيكون مجموع القوائم: عشرة. والواقع منها في داخل المخمس: ست، فيبقى في الخارج: أربعة. واعتبر حال سائر الأشكال من نفسك. لتعرف أن الحال كما ذكرناه.

وأما البرهان: فنقول إن كل مضلع [6] فإنه يمكن إخراج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة. فإذا فعلنا حصل بسبب ذلك زاويتان معادلتان لقائمتين إحداهما واقعة في داخل [ذلك [7] ] المضلع، والأخرى خارجة عنه. وإذا كان كذلك، وجب أن يكون عدد القوائم الحاصلة في الداخل والخارج: ضعيف عدد أضلاع ذلك المضلع.

(1) والراجع منها (ط) مكرر.

(2) النسة: غير (م، ط)

(3) قائمتان ومعادلتان (م) .

(4) فيثبت: الحاصلة في داخل المربع أربعة، فيثبت الحاصلة في الخارج أربعة (م) .

(5) زاويتان ومعادلتان (م) .

(6) ضلع (م) .

(7) من (ط) مكرر.