5 -البرهان الرياضي: نتابع من العبارات لإثبات صحة قضية رياضية بطريقة استنباطية استنادًا إلى تعميمات متفق عليها.

6 -برهان الوحدانية proof uniqueness:

وهو أسلوب يتم به إثبات وجود عنصر واحد وواحد فقط وتسير هذه الطريقة بخطوتين يتم في الخطوة الأولى بيان أن العنصر المطلوب موجود ثم نفترض عكس القضية الأصلية (وهي وجود عنصر وحيد) وذلك بافتراض وجود عنصرين وتبين أن هذين العنصرين متساويين ومعنى ذلك أنهما عنصر واحد وبذلك ننفي ما فرضناه من وجود عنصرين ومعنى ذلك هو إثبات وجود عنصر واحد وواحد فقط.

مثال: يوجد محايد ضربي وحيد في طـ

1)بما أن 1 × س = س × 1 = س ... ، حيث س تنتمي إلى طـ، 1 ينتمي إلى طـ

إذن ... 1 هو العنصر المحايد الضربي في طـ

2)نفرض أن أ َ، أ ً كل منهما عنصر في ط وكل منهما محايد ضربي في ط

أي أن أ َ س = س

إذن أ ً س = س ... إذن أ َ س = أ ً س إذن أ َ = أ ً

وهذا تناقض إلا إذا كان أ َ = أ ً

7 -البرهان التفنيذي omit proof [1] :

وبه يتم إثبات صدق تقرير أو عبارة معينة عن طريق استعباد كل ما يتعارض مع الحقائق المعطاة بحيث إذا ثبت عدم صدق كل الحالات ما عدا واحد فيكون هو المطلوب.

مثال:

أثبتي أن أ > ب إذا كان أ + ب = 6، أ > 3

البرهان:

1)نفرض أن أ = ب

إذن أ + أ = 6 إذن 2 أ = 6 إذن أ = 6 ... تناقض

2)نفرض أن أ < ب إذن أ = 6 - ب ... إذن 6 - ب < ب

إذن ... 6 < 2 ب ... إذن ... 3 < ب، وهذا يتناقض المعطى أ + ب = 6

وعليه لا يبقى إلى أ > ب هو صحيح.

(1) أحمد العريفي الشارف. المدخل لتدريس الرياضيات، الجامعة المفتوحة طرابلس ليبيا، 1996، ص 69