وهو يسير من (ق ... ك) من المعطيات المتوفرة لانتقال إلى خطوة ثانية وثالثة تنتج عنها بالضرورة المنطقية حتى نصل إلى النتيجة.
مثال: إذا ساوى طولا ساقين في مثلث قائم الزاوية طولي ساقين متناظرين في مثلث أخر قائم الزاوية كان المثلثان متطابقين.
أ ... أ َ
ب ... جـ بَ ... جَ
البرهان: 1 - بما أن أ ب = أ َ بَ (معطى)
، ب جـ = ب َ جَ ... (معطى)
، ق > (ب) = ق > (بَ) (معطى)
(أ ب جـ = (أ َ بَ جَ(نظرية) وهو المطلوب
9 -البرهان بسلسلة من الفروض proof Sequences of hypotheses [1] :
وهو إثبات صحة (صواب) تقدير (أ) مثلًا إذا برهنا صحة تقدير أخر (ب) مرتبط بالتقدير الأول، وبرهنة (ب) تتم عن طريق برهنة تقدير آخر (جـ) وهكذا حتى نصل إلى التقدير المطلوب (أ) . ... د
مثال: إذا كان ... أ ب = أ د
، > (أ د جـ) تكافئ > (أ ب جـ) ... أ
المطلوب: إثبات أن ... ب جـ يكافئ د جـ
البرهان: لاثبات ... ب جـ يكافئ د جـ ... نبرهن أن ... ب
> (ب د جـ) يكافئ > (د ب جـ) ولإثبات ذلك نعود للمعطى:
أ ب يكافئ أ د ... (معطى)
> (أ د ب) تكافئ > (أ ب د) (نظرية)
> (أ د جـ) تكافئ > (أ ب جـ) (معطى)
> (د ب جـ) تكافئ > (ب د جـ) (مسلمة)
ب جـ يكافئ جـ د (نظرية) ... وهو المطلوب
(1) إحسان شعراوي،"الرياضيات أهدافها واستراتيجياتها تدريسها"، القاهرة، دار النهضة العربية، 1985، ص 136