ومن الواضح أن المجموع ح ن تقريب للمساحة أ ب جـ د، وأنه كلما تزايدت قيمة ن، تقاربت قيمة ح ن من المساحة الفعلية للمنطقة أ ب جـ د. والمساحة الفعلية ح هي نهاية ح ن عندما تقترب ن من مالا نهاية.
أي أن ح هي العدد الذي تقترب منه قيمة حن. وعندما نقسم الفترة إلى عدد أكبر من الأجزاء تتزايد قيمة ن، وتتناقص قيمة D س .
وتسمى نهاية حن عندما تقترب ن من مالا نهاية التكامل المحدود للدالة د من صفر إلى ف. ويكتب على النحو التالي:
النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. إذا أعطينا أي دالة ص على الفترة بين أ و ب حيث أ أقل من ب، فبإمكاننا أن نقسم القطعة بين أ و ب إلى ن جزءا متساويًا، ونشكل ح ن كما فعلنا قبل قليل. وتسمى نهاية ح ن عندما تقترب ن من مالا نهاية التكامل المحدود للدالة ص من أ إلى ب. وتكتب على النحو التالي:
ويرتبط تكامل ومشتقة الدالة بوساطة النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والتي تنص على أن.
حيث هـ أي دالة تساوي مشتقتها الدالة ص. وعلى سبيل المثال، إذا كانت ص (س) = 1/12 س§ هو دالة ارتفاع القطع المكافىء التي درسناها سابقا، فإن هـ (س) = س3 هي إحدى الدوال التي تساوي مشتقتها ص، وذلك لأن هَـ (س) = 1/12 × 3 س2 = 1/4 س2 = ص (س) . ومن خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، نستنتج أن:
وهذه هي مساحة المقطع ب جـ د تحت المقطع المكافئ
نبذة تاريخية
ظهرت أولى أفكار حساب التفاضل والتكامل في أعمال الرياضي الإغريقي المشهور أرخميدس الذي قام بوضع العديد من القوانين في الهندسة، مثل حجم ومساحة سطح الكرة، مستخدمًا في ذلك طرقا كانت بداية لتلك الطرق المستخدمة اليوم في حساب التكامل.