حيث تشير النقاط في هذه المعادلة إلى أنه قد تكون بعض الحدود لم تبرز صراحة. فعلى سبيل المثال، لو كانت ن = 100 فإنه ينبغي أن تحتوي المعادلة 95 حدًا آخر
وبوساطة الجبر، نستطيع أن نثبت أن:
وعندما تتزايد قيمة ن في هذه المعادلة، تتناقص قيمة كل من الحدين الأخيرين، ولذا يقول علماء الرياضيات إن نهاية حن عندما تقترب ن من اللانهاية ( ) هي ويعبرون عن ذلك كما يلي:
وبما أن ح ن يقترب أكثر فأكثر من مساحة ب جـ د كلما تزايدت قيمة تن، فإن ح ن عندما تقترب ن من اللانهاية هي مساحة المنطقة ب جـ د بالضبط. وهكذا تكون مساحة ب جـ د هي 16/3 أو 1/3 5 سم².
وباستخدام هذه المعلومة، نستطيع أن نحسب المساحة ب جـ أ. فنحن نعلم أن مساحة المربع ب د جـ أ هي 16 سم²، ومن ثم، فإن مساحة المنطقة ب جـ أ تساوي16 - 16/3 سم² أي 32/3 سم².
التكامل المحدود. بطريقة مماثلة لتلك المستخدمة في المثال الأخير، نستطيع أن نحسب مساحات مناطق أكثر عمومية كالمنطقة أ ب د جـ الموضحة في الرسم أدناه.
من الممكن تقريب مساحة أ ب د جـ برسم مستطيلات بداخلها كما فعلنا في حالة القطع المكافئ، فنجزئ القطعة [جـ د] إلى أربعة أجزاء متساوية بوساطة النقاط س0، س1، س2، س3، س4.
ونعرف ارتفاع كل مستطيل بوساطة الدالة د (س) التي تعين ارتفاع المنحنى عند النقطة التي تبعد س وحدة عن جـ، فتكون ارتفاعات المستطيلات هي د (س1) ، د (س2) ، د (س3) ، د (س4) . ولذا عند رسمنا أربعة مستطيلات لها القاعدة نفسها يكون مجموع مساحاتها هو ح4 حيث
في هذه المعادلة، يساوي الرمز D س الذي ينطق دلتا س ف/4 طول كل قاعدة .
أما إذا قسمنا القطعة [جـ د] إلى ن جزءًا متساويًا بالنقاط س.، س1، ، س ن ورسمنا ن مستطيلًا داخل المنطقة أ ب جـ د، فإن مجموع مساحاتها حن يعطى بالمعادلة التالية: