النهايات. لنفرض أن متوسط سرعة طائرة نفاثة في رحلة ما 1100 كم/س. فإذا أردنا أن نعرف سرعة الطائرة في أية لحظة من رحلتها، فلن تكفينا معرفة متوسط السرعة بل نحتاج لإجراء حسابات أخرى.
وبالمثل، فإن معرفة متوسط معدل تغير دالة في فترة ما لايخبرنا إلا بالقليل عن معدل تغير الدالة في أية لحظة، وهو مايعرف باسم المعدل اللحظي للتغير. غير أن فكرة النهاية تمكننا من إيجاد المعدل اللحظي للتغير، وهذه هي إحدى الأفكار الأساسية في حساب التفاضل.
لنأخذ بعين الاعتبار القاعدة ف = 7 ن² التي تعطي المسافة التي تسقطها الكرة بالقرب من الكوكب حسب وصفنا السابق. فإذا كان متوسط سرعة الكرة في الفترة بين ثانيتين و ن ثانية من إسقاطها هو ع (ن) ، فإن ع (ن) تعطي:
ويبين الجدول التالي متوسط سرعة الكرة من الثانية 2 إلى الثانية ن عندما تقترب ن أكثر فأكثر من 2.
ن
ع (ن)
وإذا تساءلنا عن القيمة التي يقترب منها متوسط السرعة عندما تصبح ن قريبة من 2، فإن الإجابة هي 28 كما نرى من الجدول بوضوح. وفي حساب التفاضل، نصف هذا الأمر بالقول: إن نهاية (نها) ع (ن) عندما تقترب ن من 2 هي 28م/ثانية. أي كلما ازدادت ن قربا من 2، صار متوسط السرعة أكثر قربًا من 28م/ثانية. والسرعة اللحظية للكرة بعد إسقاطها بثانيتين هي 28 م/ثانية. وفي حساب التفاضل نكتب هذه الحقيقة على النحو التالي:
وبصفة عامة، فإن المعدل اللحظي لتغير دالة (د) عند العدد (أ) ، يعرف على النحو التالي:
المشتقات. المعدل اللحظي لتغير دالة من الأهمية بمكان، ولذا أفرد له الرياضيون اسمًا خاصًا هو المشتقة. ومن أكثر الصيغ استخدامًا للرمز لمشتقة (د) عند (أ) ، الصيغة دَ ( أ ) ، وتقرأ ¸ د شرطة· أ، غير أن هناك أشكالًا أخرى منها حيث ص = د (س) . إن المشتقة تعرف بالتالي: