ويستخدم حساب التفاضل والتكامل في الفيزياء ومعظم فروع العلوم وجميع فروع الهندسة لإثبات النظريات، ولحل المسائل العلمية. فلكي يتمكن مصمم طائرات من تصميم جناح لطائرة، على سبيل المثال، فإنه يستخدم مبادئ الديناميكا الهوائية، أحد فروع الفيزياء. وبفضل المعادلات الرياضية، يستطيع معرفة ردود فعل الجناح تحت مختلف الظروف. وحساب التفاضل والتكامل هو الذي يزود المصمم بإمكانية استخلاص هذه المعادلات من مبادئ الديناميكا الهوائية.
حساب التفاضل
الدوال. أحد المواضيع التي يتناولها حساب التفاضل والتكامل، والدالة مثل الصيغة وكل صيغة رياضية هي تعريف لدالة. وبالدالة (د) ، يعني عالم الرياضيات أن ارتباطًا يلحق بكل عدد (ن) عددًا ما يمثل بالرمز د (ن) . فالقاعدة ف = 7 ن²، على سبيل المثال، تربط بكل عدد (ن) عددًا ما . وإذا استخدمنا (د) لنميز هذه الدالة، فإن د (ن) = 7 ن². وعلى هذا فإن:
معدل تغير الدالة. هو جوهر حساب التفاضل. فإذا كانت د (أ) ، د (ب) قيمتين للدالة د، فإن د (ب) - د (أ) هو التغير في د، الناجم عن الانتقال من أ إلى ب، في العدد الذي نقيم عنده د. ويكون متوسط معدل تغير د بين (أ) و (ب) على النحو التالي:
ففي الدالة د (ن) = 7 ن²، على سبيل المثال، يكون التغير في (د) من ن = 2 إلى ن = 10 هو (د) (10) - د (2) = 700 - 28 = 672، ويكون متوسط معدل تغير (د) بين 2 و 10 هو:
وفي مسألة الكرة التي تركت لتسقط من سفينة الفضاء يمثل الفرق د (10) - د (2) المسافة التي تسقطها الكرة في ثماني ثوان بدءًا بثانيتين بعد إسقاطها. وهكذا نرى أن الكرة تسقط 672م في هذه المدة. وفي مثل هذا المثال حيث ن يمثل الزمن و د (ن) هي المسافة، يُسمي العلماء معدل تغير (د) السرعة. وبمقتضى العملية الحسابية التي أجريناها آنفا، يكون متوسط سرعة الكرة في مدة الثواني الثماني المعطاة 84م/ثانية.