من الجدول أعلاه يتبين لنا أن المجموع يقترب من العدد 2كلما أضفنا حدودًا أكثر. وإذا أضفنا عددًا كافيًا من الحدود، نستطيع أن نجعل المجموع يقترب أكثر فأكثر من العدد 2. ولكن لايمكن للمجموع أن يصل إلى العدد 2. ويسمى العدد2 في هذه الحالة نهاية مجموع ن من الحدود عندما يتزايد ن بدون حد. ويمكن أن نعبر عن ذلك باستخدام الرموز كالتالي:
الرمز يبين لنا أن الحدود تتزايد دون حد. وتسمى النهاية مجموع المتسلسلة.
من الممكن أيضًا أن نستخدم قوانين رياضية للبرهان على أن مجموع هذه المتسلسلة يساوي 2. وقانون مجموع ن من حدود أية متوالية هندسية هو:
حيث أ هو الحد الأول من المتسلسلة، ر هو النسبة المشتركة، ن عدد الحدود. من الممكن أن نكتب القانون السابق على النحو التالي:
خذ الحد الثاني من المعادلة أعلاه إذا كان ر عددًا أقل من 1 وسمحنا للعدد ن أن يتزايد بدون حد، فإن رن يقترب من الصفر، ومن ثم فإن نهاية الحد الثاني من الطرف الأيسر تساوي صفرًا ¸تستطيع التحقق من ذلك بأخذ ر عددا أقل من 1 وإيجاد قيم ر لبعض قيم ن·
بما أن
فإن
عند أ =1 و ر = 1/2 كما في المثال فإن:
وهذه هي القيمة نفسها التي توصلنا إليها باستخدام الجداول.
إذا وجدت نهاية لمجموع متسلسلة عندما يتزايد عدد حدودها بدون حد، فإنها تُسمى متسلسلة متقاربة، وإذا لم تكن متقاربة فإنها تُسمى متباعدة. وعلى الرغم من أن علماء الرياضيات استطاعوا أن يبرهنوا على تقارب عدد كبير من المتسلسلات، فإنه من الصعوبة بمكان (وأحيانًا من المستحيل) إيجاد مجموع متسلسلة متقاربة. وفي هذه الحالة، نجد مجموع المتسلسلة بصورة تقريبية. تمكن علماء الرياضيات ـ باستخدام طريقة التقريب هذه ـ أن يجدوا قيم الدوال المثلثية، واللوغاريتمات، وكذلك قيمة بعض الثوابت المهمة مثل ط,e (حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي) .