بدأ التطور الفعلي للتفكير الرياضي في التباديل مع مطلع القرن السابع عشر الميلادي، وذلك مع تطور نظرية الاحتمالات. وفي الفترة نفسها اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي بليس باسكال أداة لحساب التوافيق. وهذه الأداة التي تُسمى مثلث باسكال موضح في الشكل. وقد بنى باسكال المثلث بحيث يكون كل عدد مساويًا لمجموع العددين اللذين يتفرعان منه إلى أعلى. وتسمى هذه الأعداد بالعناصر، وترتب في صفوف. ولكل عنصر خانة في صف يتم تحديده عن طريق العد من اليمين إلى اليسار. وعليه فالعدد 20 يظهر في الخانة الرابعة من الصف السابع من المثلث.
وقد وجد باسكال أن العنصر الواقع في الخانة (ر + 1) من الصف (ن + 1) هو عدد توافيق ن من الأشياء مأخوذة ر من المرات (ن قر) . إذا كانت ن = 6، ر = 2، فإن عدد التوافيق هو العدد الواقع في الخانة الثالثة من الصف السابع (15) ، (كما في داخل الدائرة) ولكن 15 تظهر أيضًا في الخانة الخامسة من الصف نفسه (انظر الشكل) . والسبب هو أن المثلث متماثل، وبالتالي فالعنصر الواقع في الخانة ر + 1 من الصف ن + 1 هو دائمًا العنصر نفسه الواقع في الخانة (ن - ر + 1) من الصف نفسه. وعليه فإن ن ق ر = ن ق (ن-ر) . وإذا كانت ن = 6، ر = 2 فإن العدد نفسه من التوافيق ممكن إذا أخذت الأشياء اثنين أو أربعة في كل مرة.