لنفترض أننا نرغب في إيجاد عدد توافيق 3 أحرف مختلفة يمكن اختيارها من 26 حرفًا هي أحرف اللغة الإنجليزية. ولنتذكر مما سبق أنه عند حساب التباديل، وجدنا أن مجموع تباديل 26 حرفًا مأخوذة 3 في كل مرة يساوي 26 × 25 × 24= 15,600. وكذلك وجدنا أن عدد التباديل لكل تشكيل توفيق من 3 أحرف هو 3 × 2× 1 = 6. وبالتالي فإن مجموع التوافيق الممكنة من الـ 26 حرفًا هي 15,600 - 6 = 2,600.
طريقة الرموز والمعادلات. يمثل الرمز نقر (أحيانًا يكتب( ) أو نقر عدد توافيق من الأشياء المأخوذة ر منها في كل مرة. وفي مثال الكتب الذي استعرضناه، يمكن صياغة وحساب عدد التوافيق الممكنة على النحو:
أما الصيغة العامة للتوافيق فهي:
فمثلًا إذا كانت ن = 6، ر = 4، فإن:
ويبسط الرياضيون صيغة ن ق ر باستخدام رمز المضروب للتعبير عن ضرب عدد كلي موجب في جميع الأعداد الكلية الموجبة التي تقل عنه. فمضروب 3 يعني 3 × 2 × 1، ويكتب 3! وبالمثل 4! يعني 4 × 3 × 2 × 1 وبالتالي يمكن تبسيط صيغة التباديل على النحو:
أما صيغة التوافيق المبسطة فهي:
ويزيد علماء الرياضيات هذه الصيغة تبسيطًا على النحو:
والصيغتان الأخيرتان متطابقتان لأن
ويمكن اختصار جميع العوامل في هذه الصيغة عدا ن (ن - 1) (ن - 2) ... ( ن - ر + 1) في البسط و ر! في المقام. وهذه هي العوامل نفسها التي ظهرت في الصيغة الأصلية للتوافيق.
وبوساطة هاتين الصيغتين للتوافيق، يمكن حساب التوافيق المختلفة بطريقتين مختلفتين فمثلًا، إذا كان لدينا 5 كتب نختار منها مجموعة من 3، فيمكن حساب عدد التوافيق على النحو:
وعند اختصار العوامل المشتركة في البسط والمقام في الصيغتين أعلاه، سنجد أن الجوابين متطابقان.
انظر أيضًا: العامل الحسابي.
نبذة تاريخية
مثلث باسكال