نكتب هذا الناتج تحت المقسوم، ونطرح، ثم نكتب حاصل الفرق وهو 12 أ ب + 6 ب2. نقسم الآن 12 أ ب على الحد الأول من المقسوم عليه وهو 4 أ (12 أ ب - 4أ = 3ب) . نكتب الناتج بإشارته (+ 3 ب) ليكون الحد الثاني من خارج القسمة. نضرب الآن كل حد من حدود المقسوم عليه بالحد 3 ب:
3 ب (4 أ + 2 ب) = (12 أب + 6ب²)
ثم نضع هذا الناتج تحت 12 أ ب + 6 ب² ونطرح لنجد أن حاصل الفرق هنا صفر. عند ذلك تتوقف عملية القسمة ونكون قد حصلنا على خارج القسمة 3 أ + 2 ب دون باق.
التحليل. يشبه التحليل إلى حد ما القسمة. فمثلًا:
(4أ + 2ب) و (3 أ + 3 ب) هما عاملان للمقدار 12أ² + 18 أ ب + 6 ب² لأننا إذا ضربنا (4أ + 2ب) (3أ + 3ب) نحصل على 12أ² + 18 أب + 6ب². ويعني التحليل كتابة مقدار جبري في شكل حاصل ضرب عوامل. من الممكن أن يكون لصيغة ما أكثر من تحليل. فمثلًا كل من 2 × 12، 3 × 8 و 4 × 6 هو تحليل للعدد 24. وتكمن أهمية التحليل في الجبر في استخدامه لتبسيط المقادير المعقدة. انظر: العامل الحسابي.
استخدام المعادلات
مثال الإسمنت
الدوال. تعتمد الكمية التي تستهلكها طائرة من الوقود على سرعتها. وتعتمد قيمة الطوابع اللازمة لوضعها على طرد بريدي على وزن الطرد. وفكرة اعتماد شيء على شيء آخر من الأفكار المهمة في الرياضيات، وتسمى علاقة بين شيء وآخر. وتسمى العلاقات بين متغيرات في الجبر بالدوال. فالدالة بين متغير وآخر تعني أن قيمة أحد المتغيرين تعتمد على قيمة الآخر.
ويمكن توضيح فكرة الدالة عن طريق تقديم أمثلة مألوفة. لنفرض وجود أساس من الإسمنت يرتفع 16 سم فوق سطح الأرض، وأننا نريد أن نبني 6 طبقات من الحجر فوق هذا الأساس بحيث يكون ارتفاع كل منها 8 سم. في كل مرة ننتهي من بناء طبقة تحدث زيادة في الارتفاع الكلي.
لنرمز لعدد الطبقات بالرمز س وللارتفاع بالرمز ص. يوضح الجدول التالي العلاقة بين عدد الطبقات والارتفاع: